In geometrie, solidele platonice au fost studiate de mii de ani de catre matematicieni si filozofi, de-o potriva, de unde-si iau si numele, de la Platon, insa abia recent s-a realizat o descoperire de pionierat in acest domeniu, care poate avea functionalitati si in domenii tehnologice, in inovatie.

Solidele platonice sunt: piramida, cubul, tetraedrul, octaedrul, eicosaedrul si dodecaedrul.

solide platonice, dodecaedru, dodecahedron

Sa spunem ca ne asezam pe unul din colturile unul solid platonic. Putem trage vreo linie dreapta care sa ne intoarca de unde am plecat fara sa trecem prin celelalte colturi? Patru dintre aceste solide platonice, care sunt construite din patrate sau triunghiuri echilaterale – cubul, tetraedrul, octaedrul si eicosaedrul –, am fost descoperite de catre matematicieni ca neavand aceasta posibilitate. Se trece prin toate colturile de pe traseu, cu alte cuvinte. Orice cale dreapta care porneste dintr-un colt va atinge un alt colt sau se va invarti pentru totdeauna fara sa se intoarca acasa. Dar cu privire la dodecaedru, care este format din 12 pentagoane, matematicienii nu stiau la ce sa se astepte.

Recent, Jayadev Athreya, David Aulicino si Patrick Hooper au demonstrat ca exista un numar infinit de astfel de trasee in ceea ce priveste dodecaedrul. Lucrarea lor, publicata in mai, in Matematica Experimentala (Experimental Mathematics), demonstreaza faptul ca aceste trasee pot fi impartite in 31 de familii naturale.

Solutia pentru aceasta a fost adusa prin intermediul tehnicilor moderne si algoritmurilor computationale. „Acum douazeci de ani, [aceasta intrebare] era de neconceput, iar acum zece ani trebuia sa facem eforturi imense ca sa scriem toate programele necesare, iar abia acum toti factorii sau indeplinit impreuna”, declara Anton Zorich, de la Institutul de Matematica al lui Jussieu din Paris, intr-un email.

Proiectul a inceput prin 2016 cand Athreya, de la Universitatea din Washington, si Aulicino, de la Colegiul Brooklyn, au inceput sa se joace cu niste decupaje de carton pliate in solide platonice. Pe masura ce construiau diferitele solide, lui Aulicino i-a venit in minte faptul ca un dosar de cercetari pe geometrie bidimensionala i-ar ajuta sa inteleaga liniile drepte trasate pe dodecaedru. „Pur si simplu am pus toate chestiunile acestea cap la cap,” declara Athreya. „A fost un fel de explorare aleatorie care a dus la gasirea unei posibilitati”.

Impreuna cu Hooper, de la Colegiul Urban din New York, cercetatorii au descoperit cum sa clasifice toate liniile drepte de la un colt inapoi catre sine, dar care sa evite alte colturi.

Analiza lor s-a dovedit a fi „o solutie eleganta”, dupa cum ne spune Howard Masur de la Universitatea din Chicago. „Acesta este unul dintre acele lucruri despre care putem spune, fara sa ezitam: ‘Doamne, ce mi-as fi dorit sa fi facut asta inainte!’”

Simetrii ascunse

Chiar daca matematicienii au speculat despre liniile drepte trasate pe un dodecaedru mai mult de un secol, recent au fost scoase la suprafata interesele fata de subiect mai mult decat inainte, ceea ce a condus la dobandirea intelegerii „suprafetelor de translatie”. Acestea sunt suprafete construite prin lipirea impreuna a fetelor laterale poligonale si s-au dovedit utile in studiul unei game largi de subiecte ce implica liniile drepte pe suprafete cu colturi, de la traiectoriile de pe o masa de biliard la chestiuni precum o singura lumina si cum poate sa lumineze o camera plina de oglinzi.

In toate aceste chestiuni, ideea de baza este sa desfasuram forma in asa fel incat sa se traseze doar traiectoriile pe care le studiem cel mai simplu. Iar ca sa intelegem mai bine liniile drepte trasate pe un solid platonic, am putea incepe prin sectionarea mai multor muchii in asa fel incat solidul sa fie total orizontal. Sa-l bidimensionam complet. Astfel ii putem vedea reteaua, dupa cum ne indica matematicienii. Un exemplu este cubul care, desfasurat, formeaza un T sau o cruce din sase patrate.

solide platonice, dodecaedru, dodecahedron

Un dodecaedru de hartie construit in 2018 de David Aulicino si Jayadev Athreya care demonstreaza ca traseele drepte de la un varf inapoi la sine, evitand in același timp alte muchii, sunt de fapt posibile.

Ca sa evitam toate salturile si invartelile, atunci cand atingem o margine a retelei am putea, in schimb, sa lipim o noua copie rotita a retele si sa continuam drept pe ea. Acum am adaugat ceva redundant, deoarece avem doua pentagoane diferite copiind fiecare pentagon original al dodecaedrului. Astfel ca ne-am complicat creatia – insa ne-am simplificat traiectoria. Asa putem proceda de fiecare data cand vrem sa ne extindem dincolo de marginea lumii noastre. Construind cu ceea ce cunoastem deja.

Pana cand drumul nostru a parcurs 10 retele, ne-am rotit reteaua initiala prin fiecare multiplu posibil de 36 de grade, iar urmatoarea retea pe care o adaugam va avea aceeasi orientare cu cea cu care am inceput. Asta inseamna ca aceasta a 11-a retea este legata de cea originala printr-o simpla schimbare – ceea ce matematicienii numesc o translatie. In loc sa lipim pe a 11-a, am putea lipi pur si simplu marginea celei de-a 10-a pe marginea paralela corespunzatoare din reteaua originala. Forma noastra nu va mai fi intinsa pe masa, dar matematicienii cred ca „isi amintesc” geometria plata de la aparitia sa anterioara – asa ca, de exemplu, traseele sunt considerate drepte daca ar fi drepte in forma lipita. Dupa ce facem toate astfel de lipiri posibile ale muchiilor paralele corespunzatoare, ajungem la ceea ce se numeste o suprafata de translatie.

solide platonice, dodecaedru, dodecahedron

Athreya are pe antebratul drept un tatuaj care reprezinta suprafata sa de translatie preferata – pentagonul dublu.

Suprafata rezultata este o reprezentare extrem de redundanta a dodecaedrului, cu 10 copii ale fiecarui pentagon. Si este mult mai complicat: se lipeste intr-o forma ca o gogoasa cu 81 de gauri. Cu toate acestea, aceasta forma complicata le-a permis celor trei cercetatori sa acceseze bogata teorie a suprafetelor de traducere.

solide platonice, dodecaedru, dodecahedron

In acest exemplu vedem doar forma de pentagon dublu ca suprafata de translatie care poate da 4-5 copii doar bidimensionale. Pentru dodecaedru altfel sta treaba…

Pentru a aborda aceasta suprafata uriasa, matematicienii si-au suflecat manecile – la figurat si la propriu. Dupa ce au lucrat la problema timp de cateva luni, si-au dat seama ca suprafata gogoasei cu 81 de gauri formeaza o reprezentare redundanta nu doar a dodecaedrului, ci si a uneia dintre cele mai studiate suprafete de translatie. Numit pentagonul dublu, este realizat prin atasarea a doua pentagone de-a lungul unei singure margini si apoi lipirea impreuna a laturilor paralele pentru a crea o gogoasa cu doua gauri, cu o bogata colectie de simetrii.

Dat fiind faptul ca pentagonul dublu si dodecaedrul sunt veri geometrici, gradul ridicat de simetrie al primului poate elucida structura celui din urma. Este o „simetrie ascunsa uimitoare”, a spus Alex Eskin de la Universitatea din Chicago (care a fost asistentul doctoral al lui Athreya in urma cu aproximativ 15 ani). „Faptul ca dodecaedrul are acest grup de simetrie ascuns este, cred, destul de remarcabil.”

Relatia dintre aceste suprafete reprezinta faptul ca cercetatorii ar putea folosi un algoritm pentru analiza suprafetelor de translatie foarte simetrice dezvoltat de Myriam Finster de la Institutul de Tehnologie Karlsruhe din Germania. Prin adaptarea algoritmului lui Finster, cercetatorii au reusit sa identifice toate caile drepte de pe dodecaedru de la un colt la sine si sa clasifice aceste cai prin intermediul simetriilor ascunse ale dodecaedrului.

Analiza a reprezentat „unul dintre cele mai distractive proiecte la care am ajuns sa lucrez in toata cariera mea”, a spus Athreya. „Este important sa te joci in continuare cu lucrurile.”

Noul rezultat arata ca chiar si obiectele care au fost studiate de mii de ani mai pot pastra secrete, a spus Eskin. „Cred ca si pentru [cei trei matematicieni] a fost foarte, foarte surprinzator sa spunem ceva nou despre dodecaedru.”

Recent Posts

Leave a Comment

Tinem legatura?

Daca doriti sa ma contactati, imi puteti trimite un mail folosind formularul de contact de mai jos.

Not readable? Change text. captcha txt
bruce lipton, destinshunkai, zen, 101 povestiri zen